Soit ` n in N^(ast) -1 `
On considère la fonction `f_n` définie sur `I= ]1,+infty[` par `f_n(x)= ln(x-1) + P_n(x)` avec `P_n(x)=sum_{ k= 1 }^n x^k/k`
1) a) Calculer `lim_{ x to 1^+} f_n(x) ` , et `lim_{ x to +infty} f_n(x)`
b) Montrer que `f_n` est dérivable sur ` I = ]1,+infty[ ` , puis montrer que ` forall x in I : f_n^' = x^n/(x-1)`
c) En déduire que `f_n` est une bijection de ` I ` vers `R`
2) a) Montrer que l équation `f_n(x) = 0 ` admet une solution unique ` a_n in ]1,+infty[`
b) Montrer que ` forall n >= 2 : f_n(a_(n+1)) = - (a_(n+1))^(n+1)/(n+1)` , puis en déduire que la suite `a_n` est strictement décroissante
c) Montrer que ` forall n >= 2 : ln(1+n) <= P_n(1) ` . puis en déduire que ` forall n >= 2 : 1 < a_n <= 1+1/{n+1} `
d) Montrer que `a_n` est convergente puis déterminer sa limite
3) a) Déterminer la monotonie de la fonction `f_(n+1)^'` sur l intervalle `]1,1+1/(n+1)]`
b) En appliquant le théorème des accroissements finis à `f_(n+1)` sur `[a_(n+1) ,a_n]` montrer que
` a_(n+1) -1 <= (n+1)(a_n -a_(n+1)) <= a_n -1 `
c) En déduire la limite `lim_{ n to +infty} n(a_n -a_(n+1))`
d) Vérifier que `{na_n +1}/{n+1} <= a_(n+1) <= {(n+1)a_n+1}/{n+2}`
e) Donner un encadrement de ` a_3`