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Derniers exercices .....

soit `a, b ` deux réels strictement positifs
tels que `a+b= 1` montrer que :

1) a) Montrer que `a+b=1 => ( a^2+b^2 >= 1/2 ` et ` ab <= 1/4 ) `

b) En déduire que `(a+1/a)^2+(b+1/b)^2 >= {25}/2`

2) `(a/{a+b} + b/a+1)^2+ (b/{a+b} +a/b +1)^2 >= {25}/2`

3)En déduire que pou tout ` x in ]0,{pi}/2[ :`

` ({ cos^4x + 1}/{cos^2x})^2 + ( {sin^4x +1 }/{sin^2x})^2 >= {25}/2 `


Solution

On considère la fonction `f` définie sur `[0,1]` par `f(x)= x/(sqrt(1+x^2)) -cos(pix)`

1) Montrer que l'équation `f(x)= 0 ` admet une unique solution `alpha` dans `]0,1[`

2) Par la méthode dichotomie trouver un intervalle `[a,b]` de longueur `0,25` tel que ` a < alpha < b `


Solution

On considère la fonction `g` définie par `g(x)= {tan(pix)}/{x-E(x)}`

1) Déterminer `D_g` domaine de définition de `g`

2) `g` admet-elle un prolongement par continuité en `0`


Solution

Préparation du concours de la médecine

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