Se connecter    Inscription   

Correction des concours de la médecine

::

Exercices et corrections

::

Exercices

Derniers exercices .....

Exercice 3 :Session normale 2020

Soit `m` un nombre complexe non nul
Partie 1)

On considère dans `C` l'équation ` E : z^3 -2mz^2+2m^2z -m^3= 0 `

1) Résoudre dans `C` l'équation `E ` ( remarquer que `m` est une solution de `E`)

2) soit `z_1` et `z_2` deux solutions de l' équation `E` distinctes de `m`

a) Vérifier que `1/z_1 +1/z_2= 1/m`

b) dans le cas ou `m= 1+e^(i{pi}/3) ` .donner la forme algébrique des nombres `z_1` et `z_2`
Partie II
la plan complexe est menu d'un repère orthonormé `(O, vec(u) ,vec(v))` on considère les points `A,B` d'affixes respectives `a=me^(i{pi}/3)` et `b=me^(-i{pi}/3)`

Soit `P` le centre de la rotation d'angle `{pi}/2` qui transforme `O` en `A`

Soit `Q` le centre de la rotation d'angle `{pi}/2` qui transforme `A` en `B`

Soit `R` le centre de la rotation d'angle `{pi}/2` qui transforme `B` en `O`

1) Montrer que les points `O,A,B` ne sont pas alignés

2) a) Montrer que l'affixe de `P` est `p=m{sqrt(2)}/2e^({7pi}/{12}i)`

b) Montrer que l'affixe de `R` est `r=m{sqrt(2)}/2e^(-{7pi}/{12}i)`

c) Montrer que l'affixe de `Q` est `q=msqrt(2)sin({7pi}/{12})`

3) Montrer que `OQ=PR` et que les droites `(OQ)` et `(PR)` sont perpendiculaires


Voir detail

Exercice 1 : session normale 2020

On considère dans `Z*Z` l'équation `7x^3 -13y= 5 `

soit `(x,y) in Z*Z` solution de l'équation `D`

1) Montrer que `x` et `13` sont premiers entre eux

2) En déduire que `x^(12)=1 [13]`

3) Montrer que ` x^3= 10 [13]`

4) En déduire que `x^(12)= 3 [13]`

5) Déduire des questions précédentes que l'équation n'admet pas de solutions dans `Z*Z`


Solution

Exercice 4 ) Session normale 2020

On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= -x+5/2 -1/2e^(x-2)(e^(x-2) -4)`

1) Montrer que `lim_{ x to +infty} f(x)= -infty ` et `lim_{ x to -infty} f(x)= +infty `

2) a) Montrer que la droite ` Delta : y = -x+5/2` est une asymptote à `C_f` au voisinage de `-infty `

b) Résoudre dans `R` l'équation `e^(x-2)-4 = 0 ` , puis montrer que que `C_f` est au dessus de `Delta ` sur `] -infty , 2+ln4] `

et que `C_f` est en dessous de `Delta` sur `[2+ln4 ,+infty[`

3) Montrer que `lim_{ x to +infty } {f(x)}/x = -infty ` , puis interpréter le résultat graphiquement

4) a) Montrer que ` forall x in R : f'(x)= -(e^(x-2) -1)^2`

b) Dresser le tableau des variations

5) Calculer `f''(x)` , puis montrer que `A(2,2)` est un point d'inflexion de `C_f`

6) Montrer que l'équation `f(x) = 0 ` admet une solution unique `alpha` et que ` 2+ln3 < alpha < 2+ln4 `

7) Tracer la courbe `C_f` et la droite `Delta`

8) a) Montrer que `f` admet une fonction réciproque définie sur `R`

b) Tracer la courbe `C_{f^(-1)} `

c) Calculer `f^(-1)'(2-ln3) ` Remarquer que `f^(-1) (2-ln3)= 2+ln3`


Solution

Exercice 3 Session normale 2020

On considère la fonction `g` définie sur `]0,+infty[` par `g(x)= 2sqrt(x) -2 -lnx `

1) a) Montrer que `forall x in ]0,+infty[ : g'(x)= {sqrt(x) -1}/x `

b) Montrer que `g` est croissante sur `[1,+infty[`

c) En déduire que ` forall x in [1,+infty[ : 0 <= lnx <= 2sqrt(x)` ( Remarquer que `2sqrt(x) -2 <= 2sqrt(x) `)

d) Montrer que ` forall x in [1,+infty[ : 0 <= (lnx )^3/{x^2}<= 8/{sqrt(x)}` , puis en déduire `lim_{ x to +infty} (lnx )^3/{x^2}`

2) a) Montrer que la fonction `G` définie par `G(x)= x( -1+4/3sqrt(x) -lnx)` est une fonction primitive sur `]0,+infty[` de la fonction `g`

b) Calculer `int_1^4 g(x) dx `


Solution

Exercice 2) : Session normale 2020

Dans l'ensemble des nombres complexes on considère l'équation `E : z^2 -2(sqrt(2)+sqrt(6))z+ 16 = 0 `

1) a) Vérifier que `Delta = -4(sqrt(6) -sqrt(2))^2 `

b) En déduire les solutions de l'équation `E`

2) On considère les nombres complexes : ` a= (sqrt(6)+sqrt(2)) + i( sqrt(6) -sqrt(2))` , ` b=1+isqrt(3)` , ` c= sqrt(2) +isqrt(2)`

a) Vérifier que `b*bar(c)= a ` , puis en déduire que `ac=4b`

b) Donner la forme trigonométrique des nombres ` b` et `c `

c) En déduire que ` a= 4( cos({pi}/{12}) + i sin({pi}/{12}))`

3) dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(u),vec(v))` on considère les points ` B,C,D ` des affixes respectives ` b , c , d` avec ` d= a^4`

Soit `M(z)` un point du plan complexe et `M'(z') ` l'mage de `M(z)` par la rotation `R` du centre `O` et d'angle `{pi}/{12}`

a) Vérifier que `z'= 1/4az`

b) Déterminer l'image de `C` par la rotation `R`

c) Déterminer la nature du triangle `OBC`

d) Montrer que `a^4= 128b` , puis en déduire que les points `O,B, D ` sont alignés


Solution

Exercice 1) Session normale 2020

On considère la suite `u_n` définie par `u_0= 3/2` et ` forall n in N : u_(n+1)= {2u_n}/{2u_n+5}`

1) Calculer `u_1`

2) Montrer par récurrence que ` forall n in N : u_n > 0 `

3) a) Montrer que ` forall n in N : 0 < u_(n+1) <= 2/5u_n` , puis en déduire que `forall n in N : 0 < u_n <= 3/2(2/5)^n`

b) calculer `lim_{ n to +infty} u_n `

4) On considère la suite `(v_n )` définie par `v_n= {4u_n}/{2u_n+3}`

a) Montrer que `v_n` est une suite géométrique de raison `q= 2/5`

b) Déterminer `v_n` puis `u_n` en fonction de `n`


Solution

الامتحان الوطني لمادة الفيزياء والكيمياء، شعبة العلوم الفيزيائية ،الدورة العادية 2020


Voir detail Télecharger

les nombres complexes et les transformations géométriques


Voir detail Télecharger

1) Vérifier que ` forall x in [0,{pi}/3] : {sin^2x}/{cosx} = 1/{cosx} -cosx `

2) soit la fonction `F` définie sur `[0,{pi}/3] ` par `f(x)= ln(tan(x/2+{pi}/4))`

a) Vérifier que `F({pi}/3)= ln(2+sqrt(3))`

b) Montrer que `F` est une primitive de la fonction `f` définie sur `[0,{pi}/3] ` par `f(x)= 1/{cosx}`

3) Calculer `I= int_0^{{pi}/3) {sin^2x}/{cosx} dx `


Solution

Calculer la somme :

` S_n = 3 +33 +333 +.............+33333...33_{ 3 : n fois } `


Solution
     |  Plan du site | A propos | Contactez nous | Abonnements | Espace enseignant