soit `f`la fonction définie par `f(x)= 2/(pi)arctan(1/(sqrt(2-x)))`
1) Déterminer `D_f` domaine de définition de `f`
2) calculer `lim_{ x to -infty} f(x) ` , `lim_{ x to 2^-} f(x) ` puis donner une interprétation géométrique aux résultats obtenus
3) Dresser le tableau des variations de `f`
4) Montrer `( exists k in ]0,1[ ) ( forall x in ]0,1[ ) : 0< abs(f'(x))<= k `
5) Montrer que l'équation `f(x)=x` admet une solution unique ` beta in ]0,1[`
6) Tracer la courbe `C_f` dans un repère orthonormé
On considère la suite ` u_n ` définie par `u_0=1` et ` forall n in N : u_(n+1)=f(u_n)`
7) Montrer que `( forall n in N ) : beta < u_n `
8) Etudier la monotonie de la suite `u_n` , puis en déduire qu'elle est convergente
9) Montrer que ` forall n in N : u_(n+1) -beta <= k(u_n -beta) `
10) Calculer `lim_{ n to +infty} u_n `