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Exercices et corrections

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Contenu pour les Sciences Maths ( 1 & 2 BAC)

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Derniers exercices .....

Olympiade 2022

Déterminer tous les triplets positifs `(x, y, z) ` solutions du système :


Solution

Exercice 1 bac 20022

Partie A
1) Vérifier que ` forall x >= 0 : 0 <= 1-x+x^2 - 1/(1+x) <= x^3 `

2) Montrer que ` forall x >= 0 : 0 <= x -x^2/2 +x^3/3 - ln(1+x) <= x^4/4 `

Partie B

On considère la fonction `f` définie sur `I = [0,+infty[ ` par `f(0)= 1/2 ` et pour tout ` x > 0 : f(x)= (x-ln(1+x))/x^2 `

1a) Montrer que `f` est continue à droite au point `0`

1b) Montrer que `f` est dérivable à droite au point `0`

1c) Calculer `lim_{ x to +infty} ` puis donner l'interprétation au résultat obtenu

2) a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= -(g(x))/x^ 3 ` avec ` g(x) =x+x/(x+1) -2ln(1+x) `

b) Montrer que ` forall x in I : 0 <= g'(x) <= x^2 `

c) EN déduire que ` forall x in I : 0 <= g(x) <= x^3/3`

d) Déterminer le sens de variation de `f` sur `I `

3a) Dresser le tableau des variations de `f`

b) Tracer la courbe `C_f`

Partie C

1) Montrer ` exists ! alpha in ]0,1[ : f(alpha)= alpha `

2) On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0=1/3 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n) `

a) Montrer que ` forall n in N : u_n in [0,1] `

b) Montrer que ` forall n in N : abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/3 abs(u_n -alpha) `

c) Montrer que ` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/3)^n `

d) En déduire que la suite `(u_n )` converge vers `alpha `

Partie D

Pour tout ` x in I ` on pose `F(x)= int_x^1 f(t)dt `

1) Montrer que `F` et dérivable sur `I` , puis calculer `F'(x) ` pour tout ` x in I `

2) En utilisant la technique d'intégration par parties montrer que ` forall x in ]0, +infty[ : F(x)= 2ln2 -(1+1/x)ln(1+x) `

3) Calculer `lim_{ x to 0^+} F(x) ` puis montrer que `int_0^1 f(t) dt = 2ln2 -1 `

4) Calculer en unité de `cm^2 ` l'air du domaine délimité par la courbe `C_f ` , l'axe des abscisses , l'axe des ordonnées , et la droite d'équation ` x= 1 `

Partie E

On pose pour tout ` k in N : Delta_k = f(k) -int_k^(k+1) f(t) dt ` et pour tout ` n in N^(ast) :S_n = sum_{k=0}^(n-1) Delta_k `

1-a) Vérifier que ` forall k in N : 0 <= Delta_k <= f(k) -f(k+1) `

b) En déduire que ` forall n in N^(ast) : 0 <= S_n <= 1/2 `

2a) Montrer que la suite `(S_n)_(n >= 1) ` est monotone

b) En déduire que la suite `(S_n)_(n >= 1) ` est convergente

c) Montrer que la limite `l` de la suite `(S_n)_(n >= 1) ` vérifie `3/2 -2ln2 <= l <= 1/2 `


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