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Préparation aux concours

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Exercices et corrections

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Contenu pour les Sciences Maths ( 1 & 2 BAC)

4 ans
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Derniers exercices .....


Exercice 1 bac 20022

Partie A
1) Vérifier que ` forall x >= 0 : 0 <= 1-x+x^2 - 1/(1+x) <= x^3 `

2) Montrer que ` forall x >= 0 : 0 <= x -x^2/2 +x^3/3 - ln(1+x) <= x^4/4 `

Partie B

On considère la fonction `f` définie sur `I = [0,+infty[ ` par `f(0)= 1/2 ` et pour tout ` x > 0 : f(x)= (x-ln(1+x))/x^2 `

1a) Montrer que `f` est continue à droite au point `0`

1b) Montrer que `f` est dérivable à droite au point `0`

1c) Calculer `lim_{ x to +infty} ` puis donner l'interprétation au résultat obtenu

2) a) Montrer que ` forall x in ]0,+infty[ : f'(x)= -(g(x))/x^ 3 ` avec ` g(x) =x+x/(x+1) -2ln(1+x) `

b) Montrer que ` forall x in I : 0 <= g'(x) <= x^2 `

c) EN déduire que ` forall x in I : 0 <= g(x) <= x^3/3`

d) Déterminer le sens de variation de `f` sur `I `

3a) Dresser le tableau des variations de `f`

b) Tracer la courbe `C_f`

Partie C

1) Montrer ` exists ! alpha in ]0,1[ : f(alpha)= alpha `

2) On considère la suite `(u_n)` définie par `u_0=1/3 ` et ` forall n in N : u_(n+1)= f(u_n) `

a) Montrer que ` forall n in N : u_n in [0,1] `

b) Montrer que ` forall n in N : abs(u_(n+1) -alpha) <= 1/3 abs(u_n -alpha) `

c) Montrer que ` forall n in N : abs(u_n -alpha) <= (1/3)^n `

d) En déduire que la suite `(u_n )` converge vers `alpha `

Partie D

Pour tout ` x in I ` on pose `F(x)= int_x^1 f(t)dt `

1) Montrer que `F` et dérivable sur `I` , puis calculer `F'(x) ` pour tout ` x in I `

2) En utilisant la technique d'intégration par parties montrer que ` forall x in ]0, +infty[ : F(x)= 2ln2 -(1+1/x)ln(1+x) `

3) Calculer `lim_{ x to 0^+} F(x) ` puis montrer que `int_0^1 f(t) dt = 2ln2 -1 `

4) Calculer en unité de `cm^2 ` l'air du domaine délimité par la courbe `C_f ` , l'axe des abscisses , l'axe des ordonnées , et la droite d'équation ` x= 1 `

Partie E

On pose pour tout ` k in N : Delta_k = f(k) -int_k^(k+1) f(t) dt ` et pour tout ` n in N^(ast) :S_n = sum_{k=0}^(n-1) Delta_k `

1-a) Vérifier que ` forall k in N : 0 <= Delta_k <= f(k) -f(k+1) `

b) En déduire que ` forall n in N^(ast) : 0 <= S_n <= 1/2 `

2a) Montrer que la suite `(S_n)_(n >= 1) ` est monotone

b) En déduire que la suite `(S_n)_(n >= 1) ` est convergente

c) Montrer que la limite `l` de la suite `(S_n)_(n >= 1) ` vérifie `3/2 -2ln2 <= l <= 1/2 `



Problème 4 bac 2022


On considère la fonction `f` définie sur `R` par `f(x)= x(e^(x/2)-1)^2 ` et `C_f ` sa courbe représentative dans un repère orthonormé `(O, vec(i) , vec(j))` , `abs(abs(vec(i))) = 1cm `

1) Calculer `lim_{ x to +infty} f(x) ` , `lim_{ x to -infty} f(x) `

2) Calculer `lim_{ x to +infty} (f(x))/x` et interpréter géométriquement le résultat

3)a) Montrer que la droite `(Delta) : y = x ` est asymptote à la courbe `C_f ` au voisinage de `-infty `

b) Etudier le signe de `(f(x) -x)` sur `R` et en déduire la position relative de la droite `(Delta)` et la courbe `(C_f) `

4) a) Montrer que pour tout ` x in R : f'(x)= (e^(x/2)-1)^2 + xe^(x/2)(e^(x/2) -1) `

b) Vérifier que pour tout ` x in R : x(e^(x/2) -1) >= 0 ` puis déterminer le signe de `f'(x) ` sur `R `

c) Dresser le tableau des variations de `f` sur `R `

5a) Montrer que ` forall x in R : f''(x)= 1/2e^(x/2)g(x) ` avec `g(x)= (2x+4)e^(x/2) -x-4 ; x in R `

b) à partir de la courbe `C_g ` déterminer le signe de `g(x) ` sur `R ` ( Remarquer que `g(alpha)= 0` )


c) Etudier la concavité de la courbe `C_f` puis donner les abscisses des deux points d'inflexions

6) Construire la coure `C_f ` on donne `ln4 =1, 4 ` , `alpha =-4.5 ` et `f(alpha)= -3.5 `

7)a) Montrer que `f` admet une fonction réciproque `f^(-1)` définie sur `R`

b) Calculer `(f^(-1))'(ln4) `

8 ) soit `(u_n)` la suite définie par `u_0 =1 ` et `forall n in N : u_(n+1)=f(u_n) ` pour tout ` n in N `

a) Montrer par récurrence `0 < u_n < ln4` pour tout ` n in N `

b) Montrer que la suite `(u_n)` est décroissante

c) Montrer que la suite `(u_n)` est convergente

d) Calculer `lim_{ n to +infty} u_n `



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